একটি সেকেন্ড দোলক ভূ-পৃষ্ঠে- সঠিক সময় দেয়। চন্দ্রে নিয়ে গেলে এর দোলনকাল কত হবে? [পৃথিবীর ব্যাসার্ধ চন্দ্রের ব্যাসার্ধের 4 গুণ এবং পৃথিবীর ভর চন্দ্রের ভরের 81 গুণ।]

একটি সেকেন্ড দোলকের ভূ-পৃষ্ঠে দোলনকাল \(T_e = 2\) সেকেন্ড।

কোনো দোলকের দোলনকাল \(T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}\) সূত্র দ্বারা নির্ধারিত হয়, যেখানে \(L\) দোলকের কার্যকরী দৈর্ঘ্য এবং \(g\) হলো অভিকর্ষজ ত্বরণ।

যেহেতু দোলকটি ভূ-পৃষ্ঠ থেকে চন্দ্রে নিয়ে যাওয়া হচ্ছে, এর কার্যকরী দৈর্ঘ্য \(L\) একই থাকবে। তবে অভিকর্ষজ ত্বরণ \(g\) পরিবর্তিত হবে।

কোনো গ্রহ বা উপগ্রহের পৃষ্ঠে অভিকর্ষজ ত্বরণ \(g = \frac{GM}{R^2}\) সূত্র দ্বারা নির্ণয় করা হয়, যেখানে \(G\) মহাকর্ষীয় ধ্রুবক, \(M\) গ্রহ/উপগ্রহের ভর এবং \(R\) তার ব্যাসার্ধ।

ভূ-পৃষ্ঠে অভিকর্ষজ ত্বরণ \(g_e = \frac{GM_e}{R_e^2}\) হবে।

চন্দ্রপৃষ্ঠে অভিকর্ষজ ত্বরণ \(g_m = \frac{GM_m}{R_m^2}\) হবে।

প্রশ্ন অনুযায়ী, পৃথিবীর ভর চন্দ্রের ভরের 81 গুণ (\(M_e = 81M_m\)) এবং পৃথিবীর ব্যাসার্ধ চন্দ্রের ব্যাসার্ধের 4 গুণ (\(R_e = 4R_m\))।

সুতরাং, \(M_m = \frac{M_e}{81}\) এবং \(R_m = \frac{R_e}{4}\)।

চন্দ্রপৃষ্ঠে অভিকর্ষজ ত্বরণ নির্ণয় করি:

\[g_m = \frac{G \left(\frac{M_e}{81}\right)}{\left(\frac{R_e}{4}\right)^2} = \frac{G M_e / 81}{R_e^2 / 16} = \frac{GM_e}{81} \times \frac{16}{R_e^2} = \frac{16}{81} \left(\frac{GM_e}{R_e^2}\right)\]

আমরা জানি, \(\frac{GM_e}{R_e^2} = g_e\)।

সুতরাং, \(g_m = \frac{16}{81} g_e\)।

এখন, দোলকের দোলনকালগুলির অনুপাত নির্ণয় করি:

\[T_e = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g_e}}\]

\[T_m = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g_m}}\]

\[\frac{T_m}{T_e} = \frac{2\pi \sqrt{L/g_m}}{2\pi \sqrt{L/g_e}} = \sqrt{\frac{g_e}{g_m}}\]

আমরা পেয়েছি \(g_m = \frac{16}{81} g_e\), অর্থাৎ \(\frac{g_e}{g_m} = \frac{81}{16}\)।

\[\frac{T_m}{T_e} = \sqrt{\frac{81}{16}} = \frac{9}{4}\]

অতএব, চন্দ্রপৃষ্ঠে দোলনকাল \(T_m = T_e \times \frac{9}{4}\)।

যেহেতু এটি একটি সেকেন্ড দোলক, ভূ-পৃষ্ঠে এর দোলনকাল \(T_e = 2\) সেকেন্ড।

\[T_m = 2 \times \frac{9}{4} = \frac{18}{4} = 4.5\] সেকেন্ড।

সুতরাং, চন্দ্রে নিয়ে গেলে দোলকটির দোলনকাল হবে 4.5 সেকেন্ড।